Рівняння коливань матеріальної точки x=30sin2пt (довжина – в сантиметрах, час – в секундах). Знайти частоту коливань, повертаючу силу і кінетичну енергію точки в момент часу T/8 і T/4 , якщо маса точки 5 г.
--------------------
1. Для знаходження частоти коливань можемо скористатися формулою для періоду коливань: \[ T = \frac{2\pi}{\omega} \] де T - період коливань, а ω - кругова частота коливань. Отже, частота коливань: \[ f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi} \] 2. Повертаюча сила для матеріальної точки обчислюється за формулою: \[ F_{\text{пов}} = m \cdot a \] де m - маса точки, а - прискорення точки. Прискорення точки можна знайти як другу похідну від функції x по часу: \[ a = \frac{d^2x}{dt^2} \] Знайдемо прискорення: \[ x = 30\sin(2\pi t) \] \[ \frac{dx}{dt} = 30 \cdot 2\pi \cos(2\pi t) = 60\pi \cos(2\pi t) \] \[ \frac{d^2x}{dt^2} = -120\pi^2 \sin(2\pi t) \] Тепер знаходимо повертаючу силу: \[ F_{\text{пов}} = 0.005 \cdot (-120\pi^2 \sin(2\pi t)) = -0.6\pi^2 \sin(2\pi t) \] 3. Кінетична енергія точки обчислюється за формулою: \[ K = \frac{1}{2}m \cdot v^2 \] де v - швидкість точки. Знайдемо швидкість точки: \[ v = \frac{dx}{dt} = 60\pi \cos(2\pi t) \] Тепер знаходимо кінетичну енергію точки: \[ K = \frac{1}{2} \cdot 0.005 \cdot (60\pi \cos(2\pi t))^2 = 0.003\pi^2 \cos^2(2\pi t) \] 4. Підставимо значення часу T/8 та T/4 в обчислені формули: \[ t = \frac{T}{8} : \] \[ f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{2\pi}{\frac{T}{8}} = \frac{16\pi^2}{T} \] \[ F_{\text{пов}} = -0.6\pi^2 \sin\left(2\pi \cdot \frac{T}{8}\right) = -0.6\pi^2 \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = -0.6\pi^2 \] \[ K = 0.003\pi^2 \cos^2\left(2\pi \cdot \frac{T}{8}\right) = 0.003\pi^2 \cos^2\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0.0015\pi^2 \] \[ t = \frac{T}{4} : \] \[ f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{2\pi}{\frac{T}{4}} = \frac{8\pi^2}{T} \] \[ F_{\text{пов}} = -0.6\pi^2 \sin\left(2\pi \cdot \frac{T}{4}\right) = -0.6\pi^2 \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -0.6\pi^2 \] \[ K = 0.003\pi^2 \cos^2\left(2\pi \cdot \frac{T}{4}\right) = 0.003\pi^2 \cos^2\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 \] Отже, при часі T/8 частота коливань буде \( f = \frac{16\pi^2}{T} \), повертаюча сила - \( -0.6\pi^2 \), кінетична енергія - \( 0.0015\pi^2 \). При часі T/4 частота коливань буде \( f = \frac{8\pi^2}{T} \), повертаюча сила - \( -0.6\pi^2 \), кінетична енергія - 0.